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DIE ARBEITSHYPOTHESE «ANTIZUFALLSWAHRSCHEINLICHKEIT» 99

ß) Es sollen zwei Eigenschaften a und b der Anschreibfolgen Wahrscheinlichkeiten
haben, es sollen also die entsprechenden Mengen 21 und
95 aus B zu F gehören. Es sei ferner die Eigenschaft b ein Spezialfall der
Eigenschaft a, so daß also jede Anschreibfolge, die die Eigenschaft b
besitzt, erst recht die Eigenschaft a hat. (Es sei etwa a die Eigenschaft,
daß eine Anschreibfolge mit i, 3, 5 beginnt, während b außerdem an
10-ter Stelle eine 6 aufweist). Dann enthält die Menge 21 die Menge 23
vollständig, in Zeichen 21 > 93. In solchenFällen muß man nach der Wahrscheinlichkeit
dafür fragen dürfen, daß eine Anschreibfolge zwar die
Eigenschaft a, nicht aber die Eigenschaft b hat, d.h. nach der Wahrscheinlichkeit
der Menge 21-93, die aus allen und nur den Anschreibfolgen
von 21 besteht, die nicht zu 93 gehören.

y) Haben zwei Eigenschaften a und b der Anschreibfolgen Wahrscheinlichkeiten
, gehören also die entsprechenden Mengen 21 und 93 aus
B zu F, so muß die Frage nach der Wahrscheinlichkeit dafür erlaubt sein,
daß eine Anschreibfolge sowohl die Eigenschaft a als auch die Eigenschaft
b besitzt, d.h. daß eine Anschreibfolge sowohl zur Menge 21 als
auch zur Menge 93, also zum Durchschnitt 2(93 gehört. 2(93 kann auch
leer sein, d. h. es braucht keine Anschreibfolge zu geben, die sowohl
in 2( als auch in 93 vorkommt. Es zeigt sich nun, daß wenn a) und ß)
erfüllt sind, die logische Operation y) von selbst innerhalb F vollziehbar
ist, da die leicht zu verifizierende Mengengleichung 2193 = 93 —{(21 + 93)
—21} lehrt, daß 2(93 mit Hilfe von «Addition» und «Subtraktion» darstellbar
ist, daß man also F dabei nicht verläßt, wenn a) und ß) gelten, y)
braucht somit nicht unter die Axiome aufgenommen zu werden.

Auf Grund dieser Überlegungen fordern wir:

Axiom Ix: Zulässigkeit der Mengenaddition

Gehören die Teilmengen 21 und 93 von B zu F, so gehört auch die Menge
21 + 93 zu F.

Axiom I2: Zulässigkeit der Mengensubtraktion

Gehören die Teilmengen 2( und 93 von B zu F und ist 2(>93, so gehört
auch die Menge 2(-93 zu F.

Bemerkung: Es wird in Ix nicht etwa gefordert, daß mit abzählbar
unendlich vielen Mengen aus F auch deren Summe zu F gehört, das gilt
nur für endlich viele Summanden!