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DIE ARBEITSHYPOTHESE «ANTIZUFALLSWAHRSCHEINLICHKEIT» 103

beliebig wenig voneinander unterscheiden, eingequetscht ist. Deshalb ist
@ sozusagen zwangsläufig eine bestimmte Zahl, nämlich n^J0 (F, @n) =
n^oo (F> B — Un) zugeordnet. Deshalb ist es angemessen, auch @ in F
aufzunehmen und ihm als Wahrscheinlichkeit (F, ©) die eben genannte
Zahl zuzuordnen. Obwohl wir sonst keine Beweise führen, soll die Tatsache
dieses zahlenmäßigen «Einquetschens» hier schnell gezeigt werden
der größeren Klarheit wegen.

00 00

Nach III2 ist zunächst: i = (F, B) = 2 (F, (zm)) + S (F, (2 m — 1)),

m=i m=1

da ja B in alle Grundmengen i-ter Stufe zerlegbar ist. Nach 11^ und III2
folgt also: (F, B — Un) — (F, ®n) = (F, B) — (F, Un) — (F, ©n) =

00

(F, B) — (F, Un + ©n) = 2 (F, (k)) - S (F, (k)) = S (F, (k)) =

k= 1 k= i k >2n

(F, (zn + 1)) + (F, (zn + 2)) + (F, (zn + }))...

Diese Summe strebt aber mit wachsendem n gegen o, da ja die Gesamtsumme
1 ist. Also ist das zahlenmäßige «Einquetschen» bewiesen.
Auf Grund dieser Überlegungen setzen wir verallgemeinernd aus Vollständigkeitsgründen
(© ist bisher sozusagen willkürlich noch nicht in F
aufgenommen) fest:

Axiom IVX: Vollständigkeit von F

Gibt es für eine Teilmenge 2 von B Mengenfolgen 21 n und 25 n (n = i>
2, 3 . . .) aus F so, daß stets 93 n < ß < 2(n gilt und die Differenz (F>
21 n) — (F, 93 n) mit wachsendem n gegen o strebt, so gehört auch £ zu F-
(Wegen 11^ und III2 folgt aus 21 > 93, beide in F, stets (F, 95) ^ (F, 21) •
Deshalb muß aus Stetigkeitsgründen (F, ß) = J», (F,2In) = n^o (F>
93n) sein, weil sonst die Axiome 11^ und III2 verletzt würden).

V, Die genaue Begrenzung von F

Durch die Axiomgruppe I ist aus den Grundmengen als Ausgangsmaterial
(Gruppe II) ein gewisses zu F gehörendes Mengensystem geschaffen
worden. Gruppe III spielte für den Umfang des Systems keine Rolle.
Durch das «Einquetschaxiom» IV! jedoch trat eine wesentliche Umfangs-
vergrößerung ein. Man kann nun zeigen, daß in diesem vergrößerten
System die Axiome der Gruppen I, III und IV als Sätze beweisbar wer-