Freiburger historische Bestände - digital

104 ERHARD TORNIER

den, also als Sätze für das vergrößerte System gelten ((5), S. 62-87). An
sich könnte man den Bereich F noch auf mancherlei Arten vergrößern,
ohne gegen die bisherigen Axiome zu verstoßen, z.B. könnte man fordern
in Verschärfung von Il5 daß auch die Summe von abzählbar unendlich
vielen Mengen aus F stets wieder zu F gehören soll. Auf diese Möglichkeit
und darauf, warum wir sie nicht ergreifen, gehen wir am Ende
dieses Paragraphen ein:
Wir setzen somit fest:

Axiom Vx: Minimalaxiom

F soll der kleinste Bereich sein, der den Axiomen I-IV genügt. Hiermit
ist also genau festgelegt, welchen Teilmengen von B, bzw. welchen
Eigenschaften der Anschreibfolgen aus B Wahrscheinlichkeiten zukommen
, d.h., es ist die Ausdehnung des Feldes, das die Versuchsvorschrift
induziert, bestimmt und auch die Größen der Wahrscheinlichkeiten
aller Mengen aus F durch die vorgegebenen Größen der Wahrscheinlichkeiten
der Grundmengen.

Um die Struktur des Feldes F durchsichtiger zu machen, wollen wir
nun explizit sagen, aus was für Teilmengen von B es besteht.

Man kann zeigen, ((1) Satz 34),daß F alle und nur die folgenden beiden
Mengentypen umfaßt:

1. Alle a-o-Mengen (Definition am Ende von §1)

2. Alle die Mengen, die nach Axiom IVx erzeugt werden können, wenn
dort zum «Einquetschen» nur a-o-Mengen benutzt werden, die 2t n und
93n, also solche sind. (Der Typ 2 umfaßt natürlich den Typ 1).

Die Wahrscheinlichkeit (F, 2t) einer a-o-Menge 21 findet man, indem
man 21 (nach Def. der a-o-Mengen stets möglich) in paarweise fremde
Grundmengen zerlegt und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser
Zerlegungsgrundmengen bildet. Die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit
der Menge des 2-ten Typs ergibt sich aus der auf Axiom 1^ folgenden
Bemerkung.

Wir wollen den Bereich F nun noch von den Eigenschaften der Anschreibfolgen
aus, welche durch F Wahrscheinlichkeiten erhalten, betrachten
. (Eigenschaften und Mengen waren ja äquivalent.)

Zunächst soll festgestellt werden, welche gemeinsame Eigenschaft aller
Anschreibfolgen die Zugehörigkeit zu einer a-o-Menge festlegt. Für eine
a-o-Menge 2t gilt 2t = Ex + E2 + E3 + . . und B —2t = E\ + E'2 +