Freiburger historische Bestände - digital

HO

ERHARD TORNIER

ben. Wir erzeugen nun aus f eine neue Folge f', indem wir den Elementen
von f irgendwelche m Symbole voranstellen, unter denen a beliebig oft
vorkommen darf; m ist dabei eine fest vorgegebene ganze Zahl. Wir behaupten
, daß dann auch in P ein Grenzwert der relativen Häufigkeit des
Auftretens von a existiert und daß dieser Grenzwert dem entsprechenden
in f gleich ist.

Man sieht das leicht so ein: Es ist

(f, k) ^ (f', k + m) ^ (f, k) + m,

weil ja stets die (k + m)-te Stelle in P mit der k-ten Stelle in f übereinstimmt
und das Symbol a in P höchstens m-mal (evtl. durch die vorgesetzten
Symbole) hinzugetreten sein kann, verglichen mit f. Also gilt

(f,k) ^ (f', k + m) ^ (f, k) + m

k + m~ k + m ~~ k + m

Nun ist aber nach trivialen Rechenregeln:
(f,k) (f,k) m (f,k)

:- = ------ • —- Und

k + m k k + m k

(f,k) + m= (f,k) m / _0UO\
k+m k k+m\ k )

Also hat man durch Einsetzen in die letzte Ungleichung:

(f,k) m (f, k) (F, k + m) (f, k) m / (f,k)\

-----.--<^--<;--- -4---. I I-----.

k k + m k k + m k k + m \ k j

Da aber m: (k + m) mit wachsendem k gegen o geht, strebt sowohl die
linke als auch die rechte Seite der letzten Ungleichung gegen den Grenzwert
von (f, k):k, der ja nach Voraussetzung existiert. Da nun aber
(P, k + m): (k + m) für jedes k zwischen den Werten links und rechts
liegt, so muß es auch gegen den Grenzwert von (f, k): k streben. Das gilt
also für jede feste Zahl m, wie groß sie auch gewählt sein mag.

Entsprechendes gilt, wenn wir P nicht durch Vermehrung von f um m
vorgesetzte Symbole erzeugen, sondern dadurch, daß wir die m ersten
Symbole von f fortlassen, denn das ist ja nur eine Vertauschung der
Rollen von f und P in den Formeln.