Freiburger historische Bestände - digital

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ULRICH TIMM

gibt, ist identisch mit der allgemeinen Formel für den Mittelwert einer
Binomialverteilung, deren Ableitung sich hier erübrigt. In These 3 wurde
jedoch dargelegt, daß diese Formel unverändert auch dann gilt, wenn beliebige
Abhängigkeiten innerhalb der Trefferfolge bestehen. Diese Verallgemeinerung
soll nun bewiesen werden.

Hierzu stelle man sich einen n Calls umfassenden Versuch aus n Teilversuchen
zusammengesetzt vor, deren Ergebnisse einfach zur Gesamttrefferzahl
T aufaddiert werden. Jeder Teilversuch besitzt den mittleren
Erwartungswert M0= p, der als Mittelwert zahlreicher Wiederholungen
desselben Teilversuchs gewonnen sein könnte. Für den Gesamterwar-
tungswert gilt dann die allgemeine Formel:

(13) M = SM0

Diese bekannte Formel besagt nichts anderes, als daß der Mittelwert einer
Summe von Variablen gleich der Summe aus den Mittelwerten der einzelnen
Variablen ist, wobei die Variablen beliebig miteinander korrelieren dürfen
. Man kann die Formel in sehr einfacher Weise ableiten, indem man
für eine Variablensumme (xx + x2 + x3 + :. . + xn) direkt den Mittelwert
M berechnet (vgl. Guilford 1965), in den, da es sich um einen additiven
Ausdruck handelt, die Korrelationen zwischen den Variablen nicht
eingehen.

Da beim Rhineschen Versuch M0 konstant gleich p ist, geht hier Formel
(13) in die zu beweisende Formel (2) über.

Es folgt nun die Ableitung der Formel (5), die ebenfalls in These 3
eine Rolle spielt:

(5) s2= n-p(i —p) [1 +(n^-i)rTr]

Formel (5) entspricht der allgemeinen Formel für die Varian^ eines aus
n Gliedern bestehenden Summenwerts. Bezeichnet man die Varianz jedes einzelnen
Gliedes mit s2, und nimmt diese als konstant für alle Glieder an,
so lautet die allgemeine Formel für die Summenvarianz:

(14) s2=n-s20[i +(n— i)r]

Diese Formel wiederum kann man in elementarer Weise ableiten, indem
man direkt für eine Variablensumme (xx + x2 + x3. . . + xn) die
Varianz ausrechnet und dabei sx2 = s22 = s32 = . . . =sn2 = s02 setzt (vgl.
Guilford 1965).

Da für eine Binomialverteilung, wie sie beim Rhineschen Kartenver-